费马大定理

喜欢看数学史的一个原因就是里面的各种八卦趣闻。如果单纯介绍怀尔斯(Andrew Wiles)的工作,讲述他是如何殚精竭虑数年如一日钻研这个问题的话就太没劲了。这本书[1]做的不错,把相关的还有不那么相关的历史都串了起来,涉及到数学的多个领域,对数学感兴趣的人一定会有很多收获。

从毕达哥拉斯到费马

据说是毕达哥拉斯(Pythagoras)第一个使用了哲学家(philosopher)这个词。它由两个希腊语单词组合而成,philo 意为“爱”,而 sophia 则是“智慧”的意思。毕达哥拉斯将揭示自然本身的秘密视为最高尚的人生追求,数字则是他对世界的解读工具。世界是美的,因为万物皆数,而数是美的,世间一切事物都可以用有理数来解释。传说中当毕达哥拉斯的学生发现 $\sqrt{2}$ 不是有理数的时候,毕达哥拉斯拒绝承认这一结果,并且淹死了这个学生。

毕达哥拉斯最为人所知的数学结论就是毕达哥拉斯定理,中国称为勾股定理。定理说明直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,即

$$ x^2 + y^2 = z^2 $$

满足这个条件的正整数组 $x,y,z$ 称作勾股数,如 (3,4,5)。很容易证明存在无穷多个勾股数。

很自然的就会想到,将平方改成立方,这个方程还有没有非平凡的整数解呢?四次方,五次方……呢?

时间来到 17 世纪。皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)是法国的数学家,但他的本职工作是法官,数学是他的业余爱好。这名业余数学家一生中发现了许多著名的数学定理,然而他很少公开自己的结论,甚至没有留下什么手稿,后世整理他读的《算术》时才在书的空白处发现一些批注和推理。费马很少写出完整的论证过程,一方面是因为他可以迅速着手下一个问题,另一方面他也借机嘲讽一下数学界的同行。他的一些定理在他逝世后仍然困扰着后世数学家们。

其中一个定理是费马平方和定理:

奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被 4 除余 1。

这个定理在 1747 年由欧拉(Leonhard Euler)解决。另一个定理费马小定理也是由欧拉解决并推广的,这个定理是后来的 RSA 公钥加密算法的基础。

最著名的定理就是费马大定理了,或者更确切的讲应该叫做费马大猜想。它的形式极其简单:当 $n>3$ 时方程 $ x^n + y^n = z^n $ 没有非平凡的整数解。关于这个定理,费马写下著名的一句批注:“我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”这句有些恶作剧的话让之后的数学家困扰了三百多年。

陷入困境——欧拉、热尔曼、柯西

费马身后,伟大的欧拉做出了证明费马大定理的初步尝试。在费马留下的散乱注记中,欧拉发现了一种证明思想,即无穷递降法,费马利用这个方法证明了 $n=4$ 的情形。欧拉利用它证明了 $n=3$ 的情况,但是他推广到其它情况的努力失败了。

数学家发现,只要完成对 $n$ 为质数情况的证明,那其它情况可以由这个结论直接推出。75 年之后,女数学家热尔曼(Sophie Germain)提出了一种证明策略,可以验证对于 $n$ 为热尔曼质数(即使得 $2p+1$ 也是质数的 $p$)的情况。狄利克雷(Gustav Lejeune-Dirichlet)和勒让德(Adrien-Marie Legendre)各自独立证明了 $n=5$ 的情形,拉梅(Gabriel Lamé)则对热尔曼的方法做了改进,证明 $n=7$ 的情形。

然而,质数的数目同样是无限的,这个结论最早由古希腊数学家欧几里得证明。人们显然无法使用热尔曼的方法验证所有的质数,但她的思想为问题的解决做出了重大突破,使人们看到了希望。

1847 年,拉梅和柯西(Augustin-Louis Cauchy)各自宣布他们将要证明费马大定理,并为此展开竞赛。当两人为了赶在对方前面发表证明的时候,库默尔(Ernst Kummer)却指出两人的证明中存在致命缺陷,导致证明的逻辑不成立。库默尔还指出,现有的数学工具暂时无法解决这个问题。随着数学领域的快速扩展,费马大定理虽然仍是数论中的最大谜题之一,却无法引起数学家们的兴趣。直到一个德国人自杀未遂。

沃尔夫斯凯尔(Paul Wolfskehl),德国实业家,家族拥有巨大财富,同时又乐于资助科学与艺术。沃尔夫斯凯尔对一位女性追求失败,万念俱灰之下决定自杀。他是一个严谨守时的标准的德国人,定下了自杀计划的确切时间,在那之前有条不紊地处理各项事务。他的效率很高,在执行自杀计划前还留下了几个小时空余时间,于是他开始阅读库默尔的那篇文献。突然,他发现了库默尔论证中的一个漏洞,并着手补救。当他完成自己的证明时,已经过了规定自杀的时间。没有死成的沃尔夫斯凯尔重新燃起了对生命的热爱,并宣布设立一个奖金,奖励第一个能够证明费马大定理的人。[2]

步入现代

库默尔的发现预示传统数论的研究方法在解决费马大定理方面可能进入了死胡同。进入现代,数学家开始从其他领域慢慢接近问题的中心,这些工作为怀尔斯的最终证明打下了良好的基础。

二战以后,日本两位年轻数学家谷山丰(Yutaka Taniyama)和志村五郎(Goro Shimura)提出了一个惊人的猜想。他们发现有一些椭圆方程与某些模形式相关联,进而猜想这种相关性对于所有椭圆方程都成立。谷山-志村猜想的重要性在于它将两个看似毫无关联的数学领域联系起来。它更深远的一层意义则是朗兰兹纲领的一个环节。朗兰兹(Robert Langlands)相信所有主要的数学领域之间存在联系,并不是一个个孤岛,并提出一系列猜想试图统一这些数学领域。时至今日,除了谷山-志村定理以外,朗兰兹纲领中另外一些重要构想也得到解决,剩余的问题仍吸引着数学界的关注。

1984 年,德国数学家弗赖(Gerhard Frey)提出的论断表明费马大定理是谷山-志村猜想的自然推论。他的论断经过其他数学家的完善而得以确信。费马大定理的解决出现了新的途径,然而谷山-志村猜想的证明并不比费马大定理轻松。

怀尔斯的成功

终于轮到主角出场了。

弗赖的论断得到证实后,怀尔斯便决定投身于谷山-志村猜想的证明,以求最终证明费马大定理。怀尔斯儿时起就对费马大定理产生浓厚的兴趣,此时在诸多现代数学工具的帮助下,怀尔斯有望实现这个宏伟的梦想。而怀尔斯之前在椭圆方程方面的研究历史也给他打下良好的基础。

怀尔斯还决定研究过程中保持独立与秘密,这有些违背现代数学公开与合作的文化。这个决定的部分原因是为了不受干扰,另一个原因则是对荣誉的渴望,他怕如果走漏风声的话,其他人就可能在他的工作的基础上抢先完成证明。当然,与世隔绝的风险也很大,他不清楚其他数学家是否也在做着同样重要的突破性工作。

为了保守秘密,怀尔斯实施了多种策略。为了不引起同事们的怀疑,怀尔斯决定将自己之前做的重要发现推迟发表,每隔六个月左右发表一篇小论文,借以掩盖自己实际正在做的研究。利用伽罗瓦(Nicolas-Gabriel Galois)的群论思想,怀尔斯走出了归纳法证明的第一步。事后看来,这是证明的必由之路,但发现它则是长期的需要勇气与信心的过程。

之后的研究并不顺利,怀尔斯尝试了种种方法仍然无法进行下去。在黑暗中摸索了几年之后,怀尔斯决定重返交流圈以了解新的数学思想。当然,他要小心翼翼地防止泄露秘密。这次会议上怀尔斯的得知一种新的分析椭圆方程的方法,即所谓的科利瓦金-弗莱切(Kolyvagin-Flach)方法。利用这个方法,怀尔斯可以证明对特定的椭圆方程谷山-志村猜想成立,并且对这个方法加以改进后,怀尔斯有可能将结论推广到更大的椭圆方程族,最终证明整个猜想。

由于怀尔斯对科利瓦金-弗莱切方法并不熟悉,他决定向他的好友尼古拉斯·凯兹(Nicholas Katz)吐露秘密,并请他为自己的计算把关。同样为了不引起其他同事怀疑,怀尔斯决定开设一门讲座,讲授自己的计算过程,却不透露自己的真实目的。由于讲座内容艰涩难懂,只有凯兹来参加讲座,这样他们就可以有正当的机会进行讨论。经过凯兹的协助,怀尔斯终于做完了剩余的工作。

1993 年 6 月,怀尔斯在家乡英国剑桥举办了三场演讲,介绍了自己所做的重大成果。

接下来出现了一点麻烦。演讲之后,怀尔斯的论文送到一些同行处进行审查。在这个过程中凯兹发现自己之前忽略了一个错误,这个错误会成为证明中的重大缺陷,无法保证方法被正确运用。怀尔斯可能要被迫承认自己的失败,进而向同行公布自己目前的进展。在理查德·泰勒(Richard Taylor)的帮助下,怀尔斯发现自己曾经放弃过的一个方法可能是解决这个缺陷的途径,并最终修正了整个证明。

实际上怀尔斯证明的是谷山-志村猜想的一个特例,但这个特例足以证明费马大定理。从数学发展的角度讲,谷山-志村猜想的意义要大于费马大定理,后者则更加广为人知。怀尔斯的工作创新了许多数学工具,在此基础上完整的谷山-志村猜想也在 1999 年得以解决。


  1. 西蒙·辛格. 费马大定理. 薛密, 译. 广西师范大学出版社, 2013.

  2. 除了这个最传奇的八卦外,关于沃尔夫斯凯尔奖金的来源还有其他解释。