《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》读书笔记

八月这个暑假,读书不多,尤其是,没有读多少专业书籍。读过的几本书,也是很符合个人口味的。开学后该抓紧学习正事啦。

暑假大部分时间在啃《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》[1],简称 GEB,作者是美国学者侯世达(Douglas Hofstadter)。侯世达在 34 岁的时候写出了这部书,荣获普利策奖,声名鹊起之后却隐居大学,常年从事认知科学与计算机科学的研究工作。

书的标题里有三个在各自领域取得了突出成就的名字。

哥德尔(Kurt Gödel),生于捷克的数学家。1931 年哥德尔证明了数理逻辑的一个重要定理,即哥德尔不完备定理:

任何相容的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题(即体系是不完备的)。

将这条定理的证明过程在体系内部形式化后,推出了另一条重要结论:

任何相容的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,它就不能用于证明它本身的相容性。

这个定理解决了著名的希尔伯特问题中的一个。希尔伯特设想可以用某些基本的算术相容性来推出全部数学系统的相容性,哥德尔定理则说明,这样的尝试是徒劳的。对哥德尔定理的证明,是本书的重要内容。作为一本科普读物,书中并没有采用枯燥的严格数学表述,而是用了更加直观的方法,我们可以跟随作者的思维,构造出一个形式系统,一步一步导出悖论。事实上,这种方法的核心思想,同哥德尔的论文是一致的。

哥德尔的证明中用了一个 trick,即所谓的哥德尔配数,这种方法为形式系统中的每一个符号都指定了一个唯一自然数,因而每一个符号串都能被“翻译”成唯一的数字。利用哥德尔配数,可以构造出一些符号串,使得它们在“谈论”另一些符号串,特别地,它们可以谈论自身。通过这样一个自指的怪圈,最终导出一个矛盾,即构造出一个不可判定自身真假的命题,从而证明了形式系统的不完备性。

这个过程可能还比较抽象,可以用一个每人都比较熟悉的悖论来类比,即“说谎者悖论”。这个悖论可以用一句话表述,即:“这句话是假的。”显然,我们不能判定这句话究竟是真还是假。矛盾的来源即是自指机制。这句话在谈论它自身,从而导致了悖论。

但哥德尔定理并不意味着任何公理系统都是不完备的,定理中的公理系统需可以定义自然数,即蕴涵皮亚诺公理。哥德尔定理是一阶逻辑的产物,但我们可以利用非一阶的系统,绕过这一矛盾。

艾舍尔(Maurits Escher),荷兰画家,他的绘画由于其中丰富的数学意味而闻名。在他的作品中,充满了对称、分形、密铺平面、怪圈、多重意义等概念。巴赫(Johann Bach),音乐史上地位极高的古典音乐大师。他的《音乐的奉献》,是能代表巴赫在对位法方面最高成就的作品之一,其中许多概念和形式彼此交织,游戏式的双重意义和微妙的映射随处可见,是人类智能的优美绝伦的创作。例如《螃蟹卡农》,这首曲子的一个声部倒过来演奏,和另一个声部完全相同。

无论是哥德尔、艾舍尔,还是巴赫,作者用大量的类比描述它们之间在思维上的相似之处,即递归和自指的怪圈。最终目的还是阐述他在认知科学和人工智能领域的看法。哥德尔定理并不能说明在机器上无法实现智能,只要我们脱离一阶逻辑的束缚,智能可以在更高的层次上实现。艾舍尔的版画里,油墨形成了一个意义层次,油墨之外的空白,形成了另外一个意义层次。巴赫的音乐有着美妙音符结构,而通过音符的连续演奏,音乐上的意义也涌现出来。

信息也存在不同的层次。我们看到一段文字,要从文字符号的排列中找到它要表达的内在信息。而这段文字究竟是不是有意义的、需要被解释的消息呢?需要根据它的结构来判定。不懂日语的人,看到一串日文平假名,可能会把它们当作毫无意义的符号;而懂日语的人会知道运用日文的语法来解释它。也就是说,消息的总体结构传递出“需要某种解码机制(日文翻译)”这个意义层次。

实际语言的层次更加复杂。这部书的每一章前面都有一篇对话,用形象的语言描述了将要阐述的概念。对话中充满了回文、藏头等等文字游戏,像《螃蟹卡农》这篇对话,正序和倒序的内容完全相同,正好同这个曲子的结构是一样的,而他们所谈论的内容也具有同样的结构。这也是一种自指。我们看出,这篇对话不仅有文本本身的意义,还有一种结构上的意义。

这些对话中主要出场角色有阿基里斯(Achilles)、乌龟(Tortoise)、螃蟹(Crab),首字母分别是 A、T、C。再加个 G?这便是构成 DNA 的四个碱基。生物遗传信息的表达更加复杂。众所周知,DNA 碱基序列可以经过转录和翻译形成蛋白质。蛋白质形成的酶又在 DNA 的复制和表达中起关键作用。并且,DNA 和蛋白质在适当环境中,使生物体表现出生命意义,而我们还远远没有了解到微观分子对宏观表现型的作用机理。

关于人工智能,作者表现了乐观的态度,关键在于如何使机器学会不同的意义层次。真正智能的机器,不应该是由我们给它灌输关于这个世界的知识,而应由它自身去学习和感受。作者论述了计算理论中的丘奇-图灵论题,它的一个表述(人工智能形式)是:任何种类的心智过程都可以用一个计算机程序来模拟,而该程序的基础语言与 FlooP 一样强,也就是说全体部分递归函数都能用这种语言程序化。为了创造真正的智能,人工智能工作者就得坚持深入到那些较低的层次,使之越来越接近大脑的机制。人们也许更关心,何时计算机可以发展到可以从事写作、作曲等创造性的工作。作者的看法是,这样的机器必须具有和人类同样的情感。

以上简要介绍了这部糅合了数理逻辑、人工智能、生物遗传学、音乐、绘画、禅宗、认知科学、语言学等诸多学科讨论的奇书。这部书值得发掘的部分还很多,作为一种脑力游戏来看再好不过。我读的比较粗浅,有时间还要重新翻阅。而若要真正理解它的概念,最好还是补充一些形式逻辑的基础。

本书出版十几年后,侯世达与凯文凯利进行了一次访谈,谈到了不少关于本书的内容。读这个访谈,对侯世达的思想会有更多认识。侯世达认为所有智能的形式在本质上是同样的。他说自己的思维方式中,类比(analogy)是核心,而且认为所有人都是如此。


  1. 侯世达. 哥德尔、艾舍尔、巴赫. 严勇, 刘皓明, 莫大伟, 译. 商务印书馆, 1997.